একটি গ্যাসের অণুর ব্যাসার্ধ 3.5${10}^{-10}m$ এবং প্রতি ঘন সেন্টিমিটার অণুর সংখ্যা 2.69${10}^{-19}$।অণুর গড় মুক্ত পথ কত?

গ্যাসের অণুর গড় মুক্ত পথ (Mean Free Path) নির্ণয়ের জন্য আমরা নিম্নের সূত্রটি ব্যবহার করব:

\[ \lambda = \frac{1}{\pi d^2 n} \]

যেখানে,

    
• \( \lambda \) = গড় মুক্ত পথ (Mean Free Path)
    
• \( \pi \) = ধ্রুবক পাই (প্রায় 3.14159)
    
• \( d \) = অণুর ব্যাস (Diameter of molecule)
    
• \( n \) = প্রতি একক আয়তনে অণুর সংখ্যা (Number of molecules per unit volume)

প্রদত্ত মানসমূহ:

    
• অণুর ব্যাসার্ধ, \( r = 3.5 \times 10^{-10} \text{ m} \)
    
• প্রতি ঘন সেন্টিমিটার অণুর সংখ্যা, \( n_{cm^3} = 2.69 \times 10^{19} \text{ cm}^{-3} \) (প্রশ্নে \(10^{-19}\) লেখা থাকলেও, ভৌত সঙ্গতি ও প্রদত্ত বিকল্পগুলির সাথে মিল রেখে এটি \(10^{19}\) ধরে গণনা করা হয়েছে, কারণ \(10^{-19}\) হলে গড় মুক্ত পথের মান অস্বাভাবিকভাবে বেশি হয়।)

ধাপ ১: অণুর ব্যাস (d) নির্ণয়

অণুর ব্যাসার্ধ থেকে ব্যাস নির্ণয় করতে হবে:

\( d = 2r = 2 \times 3.5 \times 10^{-10} \text{ m} = 7 \times 10^{-10} \text{ m} \)

ধাপ ২: প্রতি ঘনমিটারে অণুর সংখ্যা (n) নির্ণয়

প্রদত্ত অণুর সংখ্যা প্রতি ঘন সেন্টিমিটারে। এটিকে SI একক (প্রতি ঘনমিটার) এ রূপান্তর করতে হবে:

আমরা জানি, \( 1 \text{ m}^3 = (100 \text{ cm})^3 = 10^6 \text{ cm}^3 \)

সুতরাং, \( n = n_{cm^3} \times 10^6 \text{ m}^{-3} \)

\( n = 2.69 \times 10^{19} \times 10^6 \text{ m}^{-3} = 2.69 \times 10^{25} \text{ m}^{-3} \)

ধাপ ৩: গড় মুক্ত পথ (\(\lambda\)) গণনা

এবার গড় মুক্ত পথের সূত্রে প্রাপ্ত মানগুলি বসিয়ে গণনা করা যাক:

\[ \lambda = \frac{1}{\pi d^2 n} \]

\[ \lambda = \frac{1}{3.14159 \times (7 \times 10^{-10} \text{ m})^2 \times (2.69 \times 10^{25} \text{ m}^{-3})} \]

প্রথমে \( d^2 \) এবং \( d^2 n \) অংশটি গণনা করি:

\( d^2 = (7 \times 10^{-10})^2 = 49 \times 10^{-20} \text{ m}^2 \)

\( d^2 n = 49 \times 10^{-20} \times 2.69 \times 10^{25} \)

\( d^2 n = (49 \times 2.69) \times 10^{(-20+25)} \)

\( d^2 n = 131.81 \times 10^5 \)

এখন, সম্পূর্ণ হর (denominator) গণনা করি:

\( \pi d^2 n = 3.14159 \times 131.81 \times 10^5 \)

\( \pi d^2 n \approx 414.73 \times 10^5 \)

\( \pi d^2 n \approx 4.1473 \times 10^7 \)

অতএব, গড় মুক্ত পথ (\(\lambda\)):

\[ \lambda = \frac{1}{4.1473 \times 10^7} \]

\[ \lambda \approx 0.2411 \times 10^{-7} \text{ m} \]

\[ \lambda \approx 2.411 \times 10^{-8} \text{ m} \]

এই ফলাফলটি প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে \(2.42 \times 10^{-8} \text{ m}\) এর সাথে অত্যন্ত সাদৃশ্যপূর্ণ।